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法律研究需要從多項式 $f(x)\ =\ x^4\ +\ 2x^3\ -\ 13x^2\ -12x\ +\ 21$ 中減去什麼，才能使得到的多項式能夠被 $x^2\ -\ 4x\ +\ 3$ 整除？
已知
已知多項式為 $f(x)\ =\ x^4\ +\ 2x^3\ -\ 13x^2\ -12x\ +\ 21$。除數為 $x^2\ -\ 4x\ +\ 3$。
要求
我們需要找到一個多項式，將其新增到多項式 $f(x)\ =\ x^4\ +\ 2x^3\ -\ 13x^2\ -12x\ +\ 21$ 中，使得得到的多項式能夠被 $x^2\ -\ 4x\ +\ 3$ 整除。
解答
設 $x^2\ -\ 4x\ +\ 3$ 除以 $f(x)\ =\ x^4\ +\ 2x^3\ -\ 13x^2\ -12x\ +\ 21$ 的餘數為 $r(x)$。
因此，
被除數 $=x^4+2x^3-13x^2-12x+21$
除數 $=x^2-4x+3$
$x^2-4x+3$)$x^4+2x^3-13x^2-12x+21$($x^2+6x+8$
$x^4-4x^3+3x^2$
------------------------------------
$6x^3-16x^2-12x+21$
$6x^3-24x^2+18x$
--------------------------
$8x^2-30x+21$
$8x^2-32x+24$
-----------------------
$2x-3$
餘數 $r(x)=2x-3$
如果我們從被除數中減去餘數，那麼它就可以被除數整除。
需要新增到多項式 $f(x)\ =\ x^4\ +\ 2x^3\ -\ 13x^2\ -12x\ +\ 21$ 中的多項式，使得得到的多項式能夠被 $x^2\ -\ 4x\ +\ 3$ 整除的是 $2x-3$。
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