不用實際進行除法，證明多項式 $2x^{3} \ +\ 4x^{2} \ +\ x\ -\ 34\ =\ 0$ 能被 $(x\ -\ 2)$ 整除。

已知：$2x^{3} \ +\ 4x^{2} \ +\ x\ -\ 34\ =\ 0$ 和 $(x\ -\ 2)$。

要求：這裡我們需要在不使用除法的情況下檢查 $2x^{3} \ +\ 4x^{2} \ +\ x\ -\ 34\ =\ 0$ 是否能被 $(x\ -\ 2)$ 整除。

解答

如果 $x\ -\ 2$ 是一個因式，那麼 $x\ =\ 2$ 是 $2x^{3} \ +\ 4x^{2} \ +\ x\ -\ 34\ =\ 0$ 的一個零點。

現在，

$2x^{3} \ +\ 4x^{2} \ +\ x\ -\ 34\ =\ 0$

將 $x\ =\ 2$ 代入多項式

$2( 2)^{3} \ +\ 4( 2)^{2} \ +\ 2\ -\ 34\ =\ 0$

$2( 8) \ +\ 4( 4) \ -\ 32\ =\ 0$

$16\ +\ 16\ -\ 32\ =\ 0$

$32\ -\ 32\ =\ 0$

$\mathbf{0\ =\ 0}$

因此，多項式 $2x^{3} \ +\ 4x^{2} \ +\ x\ -\ 34\ =\ 0$ 可以被 $x\ -\ 2$ 整除。

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更新於： 2022年10月10日

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