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法律研究透過將第二個多項式除以第一個多項式，檢查第一個多項式是否是第二個多項式的因式
(i) $t^2-3, 2t^4 + t^3 - 2t^2 - 9t - 12$
(ii) $x^2 + 3x + 1, 3x^4+5x^3-7x^2+2x + 2$
(iii) $x^3 -3x + 1, x^5 - 4x^3 + x^2 + 3x + l$
操作步驟
我們需要檢查在每種情況下，透過將第二個多項式除以第一個多項式，第一個多項式是否是第二個多項式的因式。
解答
(i) 應用除法演算法，
設被除數$f(t)\ =\ 2t^4\ +\ 3t^3\ –\ 2t^2\ –\ 9t\ –\ 12$
除數$g(t)\ =\ t^2\ –\ 3$
如果 $g(t)$ 是 $f(t)$ 的因式，則長除法的餘數應為 $0$。
$t^2-3$)$2t^4+3t^3-2t^2-9t-12$($2t^2+3t+4$
$2t^4 -6t^2$
-------------------------------
$3t^3+4t^2-9t-12$
$3t^3 -9t$
--------------------------------
$4t^2-12$
$4t^2-12$
----------------
$0$
因此，$g(t)$ 是 $f(t)$ 的因式。
(ii) 應用除法演算法，
設被除數$f(x)=3x^4+5x^3-7x^2+2x + 2$
除數$g(x) =x^2 + 3x + 1$
如果 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的因式，則長除法的餘數應為 $0$。
$x^2+3x+1$)$3x^4+5x^3-7x^2+2x+2$($3x^2-4x+2$
$3x^4+9x^3+3x^2$
------------------------------------
$-4x^3-10x^2+2x+2$
$-4x^3-12x^2-4x$
-------------------------------
$2x^2+6x+2$
$2x^2+6x+2$
------------------
$0$
因此，$g(x)$ 是 $f(x)$ 的因式。
(iii) 應用除法演算法，
設被除數$f(x)\ =\ x^5\ –\ 4x^3\ +\ x^2\ +\ 3x\ +\ 1$
除數$g(x)\ =\ x^3\ –\ 3x\ +\ 1$
如果 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的因式，則長除法的餘數應為 $0$。
$x^3-3x+1$)$x^5-4x^3+x^2+3x+1$($x^2-1$
$x^5-3x^3+x^2$
-------------------------------
$-x^3+3x+1$
$-x^3+3x-1$
-------------------
$0$
因此，$g(x)$ 是 $f(x)$ 的因式。
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