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法律研究對於哪個值 $k$，多項式 $f(x) = 3x^4 - 9x^3 + x^2 + 15x + k$ 能被 $3x^2 - 5$ 完全整除？
已知
已知多項式為 $f(x) = 3x^4 - 9x^3 + x^2 + 15x + k$。
除數為 $3x^2 - 5$。
待求解
我們需要求 $k$ 的值。
解答
如果 $f(x) = 3x^4 - 9x^3 + x^2 + 15x + k$ 能被 $3x^2 - 5$ 完全整除，則 $3x^2 - 5$ 是 $f(x)$ 的一個因子。
為了求零點，令 $3x^2 - 5 = 0$
$3x^2 - 5 = 0$
$3x^2 = 5$
$x^2 = \frac{5}{3}$
$x = \sqrt{\frac{5}{3}}$ 或 $x = -\sqrt{\frac{5}{3}}$
$x = \sqrt{\frac{5}{3}}$ 是 $f(x)$ 的一個根。
因此，
$f(\sqrt{\frac{5}{3}}) = 3(\sqrt{\frac{5}{3}})^4 - 9(\sqrt{\frac{5}{3}})^3 + (\sqrt{\frac{5}{3}})^2 + 15(\sqrt{\frac{5}{3}}) + k = 0$
$\begin{array}{l}
3\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right)^{4} -9\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right)^{3} +\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right)^{2} +15\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right) +k=0\\
\\
3\left(\frac{5}{3}\right)^{2} -9\left(\frac{5}{3}\right)\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right) +\frac{5}{3} +15\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right) +k=0\\
\\
\frac{25}{3} -15\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right) +\frac{5}{3} +15\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right) +k=0\\
\\
\frac{30}{3} +k=0\\
\\
10+k=0\\
\\
k=-10
\end{array}$
$k$ 的值為 $-10$。
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