求下列二次多項式的零點，並驗證零點與其係數之間的關係
$p(y)\ =\ y^{2} \ +\ \left(\frac{3\sqrt{5}}{2}\right) y\ –\ 5$

$p(y)=y^2+(\frac{3\sqrt5}{2})y-5$

這裡，我們要求出p(y)的零點。

為了求出p(y)的零點，我們需要令$p(y)=0$。

這意味著：

$y^2+(\frac{3\sqrt5}{2})y-5= 0$

$y^2-(\frac{\sqrt{5}}{2})y+2\sqrt5y-5= 0$

$y(y-\frac{\sqrt{5}}{2})+2\sqrt{5}(y-\frac{\sqrt{5}}{2})= 0$

$(y- \frac{\sqrt{5}}{2})(y+2\sqrt5)= 0$

$y-\frac{\sqrt{5}}{2}=0$ 且 $y+2\sqrt5=0$

$y=\frac{\sqrt{5}}{2}$ 且 $y=-2\sqrt{5}$

因此，二次方程$p(y)=y^2+(\frac{3\sqrt5}{2})y-5$的零點是$\frac{\sqrt{5}}{2}$ 和 $-2\sqrt5$。

驗證

我們知道：

零點之和 $= -\frac{y的係數}{y^2的係數}$

                       $= –(\frac{\frac{3\sqrt5}{2}}{1})$

                       $=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$

$p(y)$的零點之和 $=\frac{\sqrt{5}}{2}+(-2\sqrt5) =\frac{-\sqrt{5}+(-4\sqrt{5})}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$

根的乘積 $= \frac{常數項}{y^2的係數}$

                            $=\frac{-5}{1}$

                            $= -5$

$p(y)$的根的乘積 $==\frac{\sqrt{5}}{2}\times(-2\sqrt5) =-5$

因此，零點與其係數之間的關係已驗證。