如果 $x = -2$ 且 $y = 1$，利用恆等式求下列式子的值：\( \left(5 y+\frac{15}{y}\right)\left(25 y^{2}-75+\frac{225}{y^{2}}\right) \)

已知：

$x = -2$ 且 $y = 1$

要求：

求 \( \left(5 y+\frac{15}{y}\right)\left(25 y^{2}-75+\frac{225}{y^{2}}\right) \) 的值。

解答：

我們知道：

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-a b+b^{2})$

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+a b+b^{2})$

因此：

$(5 y+\frac{15}{y})(25 y^{2}-75+\frac{225}{y^{2}})=(5 y+\frac{15}{y})[(5 y)^{2}+(\frac{15}{y})^{2}-(5 y)(\frac{15}{y})]$

$=(5 y)^{3}+(\frac{15}{y})^{3}$

$=125 y^{3}+\frac{3375}{y^{3}}$

$=125(1)^{3}+\frac{3375}{(1)^{3}}$

$=125+3375$

$=3500$

因此，\( \left(5 y+\frac{15}{y}\right)\left(25 y^{2}-75+\frac{225}{y^{2}}\right)=3500\)。

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更新於：2022年10月10日

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