求解下列方程中使得根為實數且相等的k值

$x^2 - 2(5+2k)x + 3(7+10k) = 0$

已知

已知二次方程為 $x^2 - 2(5+2k)x + 3(7+10k) = 0$。

求解

我們需要求解使得根為實數且相等的k值。

解法

將已知二次方程與標準形式的二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 進行比較，得到：

$a=1, b=-2(5+2k)$ 且 $c=3(7+10k)$。

標準形式二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的判別式為 $D=b^2-4ac$。

$D=[-2(5+2k)]^2-4(1)[3(7+10k)]$

$D=4(5+2k)^2-12(7+10k)$

$D=4(25+4k^2+20k)-84-120k$

$D=16k^2+80k+100-84-120k$

$D=16k^2-40k+16$

如果 $D=0$，則已知二次方程具有實數且相等的根。

因此，

$16k^2-40k+16=0$

$8(2k^2-5k+2)=0$

$2k^2-5k+2=0$

$2k^2-4k-k+2=0$

$2k(k-2)-1(k-2)=0$

$(2k-1)(k-2)=0$

$2k-1=0$ 或 $k-2=0$

$2k=1$ 或 $k=2$

$k=\frac{1}{2}$ 或 $k=2$

k的值為 $\frac{1}{2}$ 和 $2$。 

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更新於：2022年10月10日

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