求解下列方程中k的值，使得方程的根為實數且相等

$(3k+1)x^2 + 2(k+1)x + k = 0$

已知

已知二次方程為$(3k+1)x^2 + 2(k+1)x + k = 0$。

解題步驟

我們需要求解k的值，使得方程的根為實數且相等。

解答

將給定的二次方程與標準形式的二次方程$ax^2+bx+c=0$進行比較，我們得到：

$a=3k+1, b=2(k+1)$ 且 $c=k$。

標準形式的二次方程$ax^2+bx+c=0$的判別式為$D=b^2-4ac$。

$D=[2(k+1)]^2-4(3k+1)(k)$

$D=4(k+1)^2-4k(3k+1)$

$D=4(k^2+2k+1)-12k^2-4k$

$D=4k^2+8k+4-12k^2-4k$

$D=-8k^2+4k+4$

如果$D=0$，則給定的二次方程具有實數且相等的根。

因此，

$-8k^2+4k+4=0$

$-4(2k^2-k-1)=0$

$2k^2-k-1=0$

$2k^2-2k+k-1=0$

$2k(k-1)+1(k-1)=0$

$(2k+1)(k-1)=0$

$2k+1=0$ 或 $k-1=0$

$2k=-1$ 或 $k=1$

$k=\frac{-1}{2}$ 或 $k=1$

k的值為$\frac{-1}{2}$ 和 $1$。 

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更新於：2022年10月10日

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