求使二次方程$(3k + 1)x^2 + 2(k + 1)x + 1 = 0$具有相等根的k值。並求出這些根。

已知

已知二次方程為$(3k + 1)x^2 + 2(k + 1)x + 1 = 0$。

待求解

我們必須求出使給定二次方程具有相等根的k值。

解

$(3k + 1)x^2 + 2(k + 1)x + 1 = 0$

將給定的二次方程與二次方程的標準形式$ax^2+bx+c=0$比較，得到：

$a=3k+1, b=2(k+1)$ 和 $c=1$。

二次方程$ax^2+bx+c=0$的判別式為$D=b^2-4ac$。

$D=[2(k+1)]^2-4(3k+1)(1)$

$D=4(k+1)^2-4(3k+1)$

$D=4(k^2+2k+1)-12k-4$

$D=4k^2+8k+4-12k-4$

$D=4k^2-4k$

如果$D=0$，則給定的二次方程具有相等根。

因此，

$4k^2-4k=0$

$4k(k-1)=0$

$4k=0$ 或 $k-1=0$

$k=0$ 或 $k=1$

k的值為$0$和$1$。

對於$k = 0$，

$(3k + 1)x^2 + 2(k + 1)x + 1 = 0$

$(3(0) + 1)x^2 + 2(0 + 1)x + 1 = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x + 1)^2 = 0$

$x+1=0$

$x=-1$

因此，對於$k=0$，給定二次方程的根為$-1$和$-1$。

對於$k = 1$，

$(3k + 1)x^2 + 2(k + 1)x + 1 = 0$

$(3(1) + 1)x^2 + 2(1 + 1)x + 1 = 0$

$4x^2 + 4x + 1 = 0$

$(2x + 1)^2 = 0$

$2x+1=0$

$2x=-1$

$x=\frac{-1}{2}$

因此，對於$k=1$，給定二次方程的根為$\frac{-1}{2}$和$\frac{-1}{2}$。

教程點

更新於：2022年10月10日

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