求下列方程中k的值，使方程的根為實數且相等

$4x^2-2(k+1)x+(k+1)=0$

已知

已知二次方程為 $4x^2 – 2(k + 1)x + (k + 1) = 0$。

求解

我們需要求出k的值，使方程的根為實數且相等。

解答

將已知二次方程與標準形式的二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 進行比較，得到：

$a=4, b=-2(k+1)$ 且 $c=k+1$。

標準形式二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的判別式為 $D=b^2-4ac$。

$D=[-2(k+1)]^2-4(4)(k+1)$

$D=4(k+1)^2-(16)(k+1)$

$D=4(k^2+2k+1)-16k-16$

$D=4k^2+8k+4-16k-16$

$D=4k^2-8k-12$

如果 $D=0$，則已知二次方程具有實數且相等的根。

因此，

$4k^2-8k-12=0$

$4(k^2-2k-3)=0$

$k^2-2k-3=0$

$k^2-3k+k-3=0$

$k(k-3)+1(k-3)=0$

$(k-3)(k+1)=0$

$k-3=0$ 或 $k+1=0$

$k=3$ 或 $k=-1$

k的值為 -1 和 3。

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更新於：2022年10月10日

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