求解以下每個方程中使得根為實數且相等的k值

$5x^2 - 4x + 2+ k(4x^2 - 2x -
= 0$

已知

已知二次方程為 $5x^2 - 4x + 2+ k(4x^2 - 2x - 1) = 0$。

要求

我們需要求解使得根為實數且相等的k值。

解答

$5x^2 - 4x + 2+ k(4x^2 - 2x - 1) = 0$

$5x^2-4x+2+4kx^2-2kx-k=0$

$(5+4k)x^2+(-4-2k)x+2-k=0$

將給定的二次方程與二次方程的標準形式 $ax^2+bx+c=0$ 進行比較，得到：

$a=4k+5, b=-(2k+4)$ 以及 $c=2-k$。

二次方程標準形式 $ax^2+bx+c=0$ 的判別式為 $D=b^2-4ac$。

$D=[-(2k+4)]^2-4(4k+5)(2-k)$

$D=(2k+4)^2-(16k+20)(2-k)$

$D=(4k^2+16k+16)-32k+16k^2-40+20k$

$D=4k^2+16k+16+16k^2-12k-40$

$D=20k^2+4k-24$

當 $D=0$ 時，給定的二次方程具有實數且相等的根。

因此，

$20k^2+4k-24=0$

$4(5k^2+k-6)=0$

$5k^2+k-6=0$

$5k^2-5k+6k-6=0$

$5k(k-1)+6(k-1)=0$

$(k-1)(5k+6)=0$

$k-1=0$ 或 $5k+6=0$

$k=1$ 或 $5k=-6$

$k=1$ 或 $k=\frac{-6}{5}$

$k$ 的值為 $\frac{-6}{5}$ 和 $1$。  

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更新於： 2022年10月10日

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