求下列方程中k的值，使方程的根為實數且相等

$(2k+1)x^2 + 2(k+3)x + (k + 5) = 0$

已知

已知二次方程為$(2k+1)x^2 + 2(k+3)x + (k + 5) = 0$。

求解

我們需要求出k的值，使方程的根為實數且相等。


解答

將給定的二次方程與標準形式的二次方程$ax^2+bx+c=0$比較，我們得到：

$a=2k+1, b=2(k+3)$ 和 $c=k+5$。

標準形式二次方程$ax^2+bx+c=0$的判別式為$D=b^2-4ac$。

$D=[2(k+3)]^2-4(2k+1)(k+5)$

$D=4(k+3)^2-(8k+4)(k+5)$

$D=4(k^2+6k+9)-8k^2-40k-4k-20$

$D=4k^2+24k+36-8k^2-44k-20$

$D=-4k^2-20k+16$

如果$D=0$，則給定的二次方程具有實數且相等的根。

因此，

$-4k^2-20k+16=0$

$-4(k^2+5k-4)=0$

$k^2+5k-4=0$

$k=\frac{-5 \pm \sqrt{5^2-4(1)(-4)}}{2(1)}$

$k=\frac{-5 \pm \sqrt{25+16}}{2}$

$k=\frac{-5+\sqrt{41}}{2}$ 或 $k=\frac{-5-\sqrt{41}}{2}$

k的值為 $k=\frac{-5+\sqrt{41}}{2}$ 和 $k=\frac{-5-\sqrt{41}}{2}$。   

更新於：2022年10月10日

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