在 $y$ 軸上找到一個點，使其到點 $( 5,\ - 2)$ 和 $( -3,\ 2)$ 的距離相等。

已知：在 $y$ 軸上存在一個點，它到點 $( 5,\ - 2)$ 和 $( -3,\ 2)$ 的距離相等。

要求：找到這個點。

由於該點在 $y$ 軸上，所以

 $X$ 座標為零，設該點為 $P( 0,\ y)$

 它到 $A( 5,\ -2)$ 和 $B( - 3,\ 2)$ 的距離相等

我們知道，如果存在兩個點 $( x_{1}, y_{1})$ 和 $( x_{2}, y_{2})$，

兩點之間的距離$=\sqrt{( x_{2}-x_{1})^{2}+( y_{2}-y_{1})^{2}}$

$PA=\sqrt{( 5-0)^{2}+( -2-y)^{2}}$

$\Rightarrow PA=\sqrt{(5)^{2}+(-(2+y))^{2}}$

$\Rightarrow PA=\sqrt{25+(y+2)^{2}}$

$\Rightarrow PA=\sqrt{25+y^{2}+4+4y}$

$\Rightarrow PA=\sqrt{y^{2}+4y+29}$

$\Rightarrow ( PA)^{2}=y^{2}+4y+29$             ..................$( 1)$

類似地， 

$PB=\sqrt{( -3-0)^{2}+( 2-y)^{2}}$

$\Rightarrow PB=\sqrt{( -3)^{2}+4+y^{2}-4y}$

$\Rightarrow ( PB)^{2}=9+4+y^{2}-4y$

$\Rightarrow ( PB)^{2}=y^{2}-4y+13$            .....................$(2)$

如題所述 $PA=PB$

$\therefore ( PA)^{2}=( PB)^{2}$

$\Rightarrow y^{2}+4y+29=y^{2}-4y+13$ 

$\Rightarrow 4y+4y=13-29$

$\Rightarrow 8y=-16$

$\Rightarrow y=-\frac{16}{8}$

$\Rightarrow y=-2$

因此，該點為 $( 0,\ -2)$