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法律研究如果點 $P (k – 1, 2)$ 與點 $A (3, k)$ 和 $B (k, 5)$ 等距，求 $k$ 的值。
已知
點 $P (k-1, 2)$ 與點 $A(3, k)$ 和 $B(k, 5)$ 等距。
要求
我們必須找到 $k$ 的值。
解答
$PA$ 與 $PB$ 等距。
這意味著，
$PA=PB$
兩邊平方，得到，
$PA^2=PB^2$
我們知道，
兩點 \( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \) 和 \( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \) 之間的距離為 \( \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)。
因此，
\( \mathrm{PA}=\sqrt{(k-1-3)^{2}+(2-k)^{2}} \)
兩邊平方，得到，
\( \mathrm{PA}^{2}=(k-4)^{2}+(2-k)^{2} \)
\( =k^2-8k+16+4+k^{2}-4 k \)
\( =2k^{2}-12k+20 \)
\( \mathrm{PB}^{2}=(k-1-k)^{2}+(2-5)^{2} \)
\( =(-1)^{2}+(-3)^{2} \)
\( =1+9 \)
\( =10 \)
\( \Rightarrow 2k^{2}-12 k+20=10 \)
\( \Rightarrow 2(k^2-6k+10)=2(5) \)
\( \Rightarrow k^2-6k+10-5=0 \)
\( k^2-6k+5=0 \)
\( k^2-k-5k+5=0 \)
\( k(k-1)-5(k-1)=0 \)
\( (k-5)(k-1) =0 \)
\( k=5 \) 或 \( k=1 \)
$k$ 的值為 $1$ 和 $5$。
更新於: 2022年10月10日
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