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法律研究點 A 以比值 k:1 將點 P(-5, 1) 和點 Q(3, 5) 所連線的直線分成了兩部分。求出兩個 k 值，使得三角形 ABC 的面積（其中 B 為點(1, 5)，C 為點(7, -2)）等於 2 個單位。
題目資訊
點 A 以比值 k:1 將點 P(-5, 1) 和點 Q(3, 5) 所連線的直線分成了兩部分。
三角形 ABC 的面積（其中 B 為點(1, 5)，C 為點(7, -2)）等於 2 個單位。
求解步驟
我們必須求出 k 的兩個值。
解法
令座標為 (x, y) 的點 A 以比值 k:1 將點 P(-5, 1) 和點 Q(3, 5) 所連線的直線分成了兩部分。
則 A 點的座標為 \( \left(\frac{k \times 3+1 \times(-5)}{k+1}, \frac{k(5)+1(1)}{k+1}\right) \)
\( =\left(\frac{3 k-5}{k+1}, \frac{5 k+1}{k+1}\right) \)
$A(\frac{3 k-5}{k+1}, \frac{5 k+1}{k+1}), B(1, 5)$ 和 $C(7, -2)$ 是三角形 ABC 的頂點。
我們知道，
頂點為 $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ 的三角形的面積由以下公式給出，
三角形面積 = \frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]
因此，
三角形\( ABC \)的面積 = 2 平方單位
\( \Rightarrow 2=\frac{1}{2}\left[\frac{3 k-5}{k+1}(5+2)+1\left(-2-\frac{5 k+1}{k+1}\right)+7\left(\frac{5 k+1}{k+1}-5\right)\right. \)
\( \Rightarrow 2=\frac{1}{2}[\frac{3 k-5}{k+1} \times 7-2-\frac{5 k+1}{k+1}+7(\frac{5 k+1}{(k+1)})-35] \)
\( \Rightarrow 4=\left[\frac{21 k-35}{k+1}-\frac{5 k+1}{k+1}+\frac{35 k+7}{k+1}-37\right] \)
\( \Rightarrow 4=\left[\frac{21 k-35-5 k+1+35 k+7-37 k-37}{k+1}\right] \)
\( \Rightarrow\left|\frac{14 k-66}{k+1}\right|=\pm 4 \)
這意味著，
\( \frac{14 k-66}{k+1}=4 \)
\( \Rightarrow 14 k-66=4 k+4 \)
\( \Rightarrow 14 k-4 k=66+4 \)
\( \Rightarrow 10 k=70 \)
\( \Rightarrow k=\frac{70}{10}=7 \)
並且，
\( \frac{14 k-66}{k+1}=-4 \)
\( \Rightarrow 14 k-66=-4 k-4 \)
\( \Rightarrow 14 k+4 k=-4+66 \)
\( \Rightarrow 18 k=62 \)
\( \Rightarrow k=\frac{62}{18} \)
\( =\frac{31}{9} \)
k 的兩個值為 7 和 \( \frac{31}{9} \)。
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