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法律研究在下列各題中，求使各點共線的 $k$ 的值。
(i) $(7, -2), (5, 1), (3, k)$
(ii) $(8, 1), (k, -4), (2, -5)$
要做的
我們必須在每個給定的情況下找到 $k$ 的值。
解答
(i) 令 $A (7, -2), B (5, 1)$ 和 $C (3, k)$ 為 $\triangle ABC$ 的頂點。
我們知道，
如果點 $A, B$ 和 $C$ 共線，則 $\triangle ABC$ 的面積為零。
頂點為 $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ 的三角形的面積由下式給出：
三角形面積 $\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$
因此，
三角形 $ABC$ 的面積 $=\frac{1}{2}[7(1-k)+5(k+2)+3(-2-1)]$
$0=\frac{1}{2}[7-7k+5k+10+3(-3)]$
$0(2)=(-2k+17-9)$
$0=-2k+8$
$2k=8$
$k=\frac{8}{2}$
$k=4$
$k$ 的值為 $4$。
(ii) 令 $A (8, 1), B (k, -4)$ 和 $C (2, -5)$ 為 $\triangle ABC$ 的頂點。
我們知道，
如果點 $A, B$ 和 $C$ 共線，則 $\triangle ABC$ 的面積為零。
頂點為 $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ 的三角形的面積由下式給出：
三角形面積 $\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$
因此，
三角形 $ABC$ 的面積 $=\frac{1}{2}[8(-4+5)+k(-5-1)+2(1+4)]$
$\Rightarrow 0=8-6 k+10$
$\Rightarrow 0=18-6 k$
$\Rightarrow 6k=18$
$\Rightarrow k=\frac{18}{6}$
$\Rightarrow k=3$
$k$ 的值為 $3$。
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