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法學如果點\( \mathrm{A}(k+1,2 k), \mathrm{B}(3 k, 2 k+3) \)和\( \mathrm{C}(5 k-1,5 k) \)共線，求\( k \)的值。
已知
點\(A( k+1,\ 2k),\ B( 3k,\ 2k+3)\) 和 \(C( 5k+1,\ 5k)\) 共線。
要求
我們必須找到\(k\)的值。
解答
假設點\(A(x_1,\ y_1)=(k+1,\ 2k),\ B(x_2,\ y_2)=(3k,\ 2k+3)\) & \(C( x_3,\ y_3)=( 5k+1,\ 5k)\) 構成一個三角形。
現在，頂點為\(A(x_1,\ y_1),\ B(x_2,\ y_2)\) 和 \(C(x_3,\ y_3)\) 的\(Area( \vartriangle ABC)\) 由下式給出
\(Area( \vartriangle ABC)=\frac{1}{2}[x_1( y_2-y_3)+x_2( y_3-y_1)+x_3( y_1-y_2)]\)
\(\therefore Area( \vartriangle ABC)=\frac{1}{2}[(k+1)(2k+3-5k)+3k(5k-2k)+(5k+1)(2k-2k-3)]\)
\(\therefore Area( \vartriangle ABC)=2k^2-5k+2\)
由於\(A,\ B,\ C\)共線
\(\Rightarrow Area( \vartriangle ABC)=0\)
\(\Rightarrow 2k^2-5k+2=0\)
\(\Rightarrow ( k-2)( 2k-1)=0\)
\(\Rightarrow k=2,\ \frac{1}{2}\)
\(\therefore\) 當\(k=2,\ \frac{1}{2}\)時，給定點共線。
更新於：2022年10月10日
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