求 $k$ 的值，使得三角形 $ABC$ 的面積為 6 平方單位，其中 $A(k+1, 1)$，$B(4, -3)$ 和 $C(7, -k)$。

已知

三角形 $ABC$ 的面積為 6 平方單位，其中 $A(k+1, 1)$，$B(4, -3)$ 和 $C(7, -k)$。

要求

我們需要求出 $k$ 的值。

解答

我們知道，

頂點為 $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ 的三角形的面積由以下公式給出： 

三角形面積 $\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

因此，

三角形 \( ABC\) 的面積 \(=\frac{1}{2}[(k+1)(-3+k)+4(-k-1)+7(1+3)] \)

\( 6=\frac{1}{2}[-3k+k^2-3+k-4k-4+7(4)] \)

\( 6(2)=(k^2-6k+28-7) \)

\( 12=k^2-6k+21 \)

\( k^2-6k+21-12=0 \)

\( k^2-6k+9=0 \)

\( k^2-3k-3k+9=0 \)

\( k(k-3)-3(k-3)=0 \)

\( (k-3)(k-3)=0 \)

\( (k-3)^2=0 \)

\( \Rightarrow k-3=0 \)

\( k=3 \)

$k$ 的值為 $3$。 

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更新於： 2022年10月10日

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