連線點$(2, 1)$和$(5, -8)$的直線被三等分於點P和Q。如果點P位於直線$2x – y + k = 0$上，求k的值。

已知

連線點$A( 2,\ 1)$和$B( 5,\ -8)$的線段被三等分於點$P$和$Q$，使得$P$更靠近$A$，且$P$位於直線$2x - y + k = 0$上。

要求

我們需要求出k的值。

解答

點$P$和$Q$三等分線段$AB$。

這意味著，$AP: PB = 1:2$

利用分點公式，我們有：

$( x,\ y)=( \frac{nx_{1}+mx_{2}}{m+n}, \frac{ny_{1}+my_{2}}{m+n})$

則，點$P$的座標為：

$P=( \frac{1\times5+2\times2}{1+2}, \frac{1\times(-8)+1\times2}{1+2})$

$\Rightarrow P=( \frac{5+4}{3}, \frac{-8+2}{3})$

$\Rightarrow P=( \frac{9}{3}, \frac{-6}{3})$

$\Rightarrow P=( 3, -2)$

點$P( 3,\ -2)$位於直線$2x-y+k=0$上。

這意味著，點$P( 3,\ -2)$滿足上述方程。

$\Rightarrow 2(3)-(-2)+k=0$

$\Rightarrow 6+2+k=0$

$\Rightarrow 8+k=0$

$\Rightarrow k=-8$

因此，k的值為$-8$。

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更新於：2022年10月10日

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