點 P 分割連線點 A(2,1) 和 B(5,-8) 的線段，使得 AP/AB = 1/3。如果 P 位於直線 2x-y+k=0 上，求 k 的值。

已知：一條線段連線兩點 A(2,1) 和 B(5,-8)。點 P 位於該線段上，且 AP/AB = 1/3，P 也位於直線 2x-y+k=0 上。

要求：求 k 的值。

解題步驟
首先，我們畫一條線段 AB，並在線段 AB 上找到點 P。
已知：
A(2, 1), 點 B(5, -8)。

P 位於直線 2x-y+k=0 上

設 P(x, y)

首先我們找到分割比例：

這裡 P 分割線段使得 AP/AB = 1/3

∴ AP = AB/3

∵ AB = AP + BP

⇒ BP = AB - AP

⇒ BP = AB - AB/3 = (3AB - AB)/3 = (2/3)AB

∴ AP/BP = (AB/3)/((2AB)/3)

⇒ AP/BP = 1/2

⇒ AP：BP = 1:2

使用比例分割公式，我們有 P(x, y) = ((nx₁ + mx₂)/(m+n), (ny₁ + my₂)/(m+n))

P(x, y) = ( (2*2 + 1*5)/(2+1), (2*1 + 1*(-8))/(2+1) )

= ((4-5)/3, (2-8)/3)

$=\ ( 3,\ -2)$

將 P(3, -2) 的值代入直線 2x-y+k=0
2(3) - 2 + k = 0

⇒ k = -4

因此，k 的值為 -4。（原文計算有誤，應為-4）
 

更新於：2022年10月10日

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