連線點$A( 2,\ 1)$和$B( 5,\ -8)$的線段被點P和Q三等分，其中P更靠近A。如果P也位於直線$2x - y = 0$上，求k的值。

已知：連線點$A( 2,\ 1)$和$B( 5,\ -8)$的線段被點$P$和$Q$三等分，使得$P$更靠近$A$，並且$P$也位於直線$2x - y = 0$上。

要求：求k的值。

由於線段$AB$被點$P$和$Q$三等分。

當$AP: PB = 1:2$時

利用分點公式，我們有

$P( x,\ y)=( \frac{nx_{1}+mx_{2}}{m+n}, \frac{ny_{1}+my_{2}}{m+n})$

那麼，$P$的座標為

$P=( \frac{1×5+2×2}{1+2}, \frac{1×(-8)+1×2}{1+2})$

$\Rightarrow P=( \frac{5+4}{3}, \frac{-8+2}{3})$

$\Rightarrow P=( \frac{9}{3}, \frac{-6}{3})$

$\Rightarrow P=( 3, -2)$

已知點$P( 3,\ -2)$位於直線$2x-y+k=0$上

那麼點$P( 3,\ -2)$將滿足該方程，

$\Rightarrow 2(3)-(-2)+k=0$

$\Rightarrow 6+2+k=0$

$\Rightarrow 8+k=0$

$\Rightarrow k=-8$

因此，$k=-8$