如果點 $R\ ( x,\ y)$ 在連線點 $P\ ( a,\ b)$ 和 $Q\ ( b,\ a)$ 的線段上，則證明 $a+b=x+y$。
已知：點 $R\ ( x,\ y)$ 在連線點 $P\ ( a,\ b)$ 和 $Q\ ( b,\ a)$ 的線段上。
要求：證明 $a+b=x+y$。
解答
$\because \ R( x,\ y)$ 位於連線點 $P( a,\ b)$ 和 $Q( b,\ a)$ 的線段上
$R( x,\ y) ,\ P( a,\ b) \ 和\ Q( b,\ a)$ 共線。
$\vartriangle PQR$ 的面積 A 應為 0。
我們知道，頂點為 $( x_{1} ,\ y_{1}) ,\ ( x_{2} ,\ y) \ 和\ ( x_{3} ,\ y_{3} )$ 的三角形的面積
$=\frac{1}{2}[ x_{1}( y_{2} -y_{3}) +x_{2}( y_{3} -y_{1}) +x_{3}( y_{1} -y_{2})]$
這裡我們找到頂點 $R( x,\ y) ,\ P( a,\ b)$ 和 $Q( b,\ a)$
$\therefore$ $\vartriangle PQR$ 的面積 $=\frac{1}{2}[ x( b-a) +a( a-y) +b( y-b)]$
$0=\frac{1}{2}\left( bx-ax+a^{2} -ay+by-b^{2}\right)$
$\Rightarrow \ bx-ax+a^{2} -ay+by-b^{2} =0$
$\Rightarrow \ a^{2} -b^{2} -x( a-b) -y( a-b) =0$
$\Rightarrow ( a-b)( a+b) -x( a-b) -y( a-b) =0$
$\Rightarrow ( a-b)[( a+b) -( x+y)] =0$
$\Rightarrow ( a+b) -( x+y) =0$
$\Rightarrow \ a+b=x+y$
證畢。
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