在△XYZ中，XY=XZ。一條直線分別交XZ於P，交YZ於Q，並與XY的延長線交於R。如果YQ=YR且QP=QZ，求△XYZ的三個角。

已知：

在三角形 XYZ 中，

XY = XZ，YQ = YR；QP = QZ。

求解：

$$\displaystyle \angle XYZ\ ,\ \angle XZY\ ,\ \angle YXZ\ \ $$

解：

在三角形 XYZ 中，

XY = XZ

因此，設

$\displaystyle \ \angle XYZ\ =\ \angle XZY\ =\ a$

在三角形 YRQ 中，

YQ = YR

因此，設

$\displaystyle \ \angle YQR\ =\ \angle YRQ\ =\ b$

在三角形 PQZ 中，

PQ = QZ

因此，設

$\displaystyle \ \angle PZQ\ =\ \angle QPZ\ =\ a$

對於三角形 YRQ，'a' 是外角，'b'，'b' 是內角。

根據外角性質：

兩個內角的和等於與它們不相鄰的外角。

$a=b+b$

$a=2b$............................... ( i)

$∠YQR =∠PQZ=b$ (對頂角)

在三角形 PQZ 中，

三角形三個內角的和等於 180°

$a+a+b=180°$

$2a+b=180°$ ...............................( ii)

將 (i) 代入 (ii)

$2a+b=180°$

$2(2b)+b=180°$

$4b+b=180°$

$5b=180°$

$b=\frac{180°}{5}$

$b=36°$

將 b = 36° 代入 (i)

$a=2b$

$a=2\times36°$

$a=72°$

$∠XYZ\ =∠XZY=a$

所以，

∠XYZ = 72° 且

∠XZY = 72°

$\angle XYZ\ \ +\ \angle XZY\ +\ \angle YZX\ =\ 180°$

72° +72° + ∠YZX = 180°

144° + ∠YZX =180°

∠YZX = 180° $-$144°

∠YZX = 36°

因此，三角形 XYZ 的三個角為：

$\angle XYZ =72°$

$\angle XZY =72°$

$\angle YZX =36°$.

教程點

更新時間： 2022年10月10日

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