如果 \( 3^{x}=5^{y}=(75)^{z} \)，證明 \( z=\frac{x y}{2 x+y} \)。

已知

\( 3^{x}=5^{y}=(75)^{z} \)

要求：

我們必須證明 \( z=\frac{x y}{2 x+y} \)。

解答

我們知道：

$(a^{m})^{n}=a^{m n}$

$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$

$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$

$a^{0}=1$

因此：

設 $3^{x}=5^{y}=75^{z}=k$

這意味著：

$3=k^{\frac{1}{x}}, 5=k^{\frac{1}{y}}$ 和 $75=k^{\frac{1}{z}}$

$75=3\times25=3\times5^2$

$\Rightarrow 3 \times 5^{2}=k^{\frac{1}{z}}$

$\Rightarrow k^{\frac{1}{x}} \times k^{\frac{2}{y}}=k^{\frac{1}{z}}$

$\Rightarrow k^{\frac{1}{x}+\frac{2}{y}}=k^{\frac{1}{z}}$

比較兩邊，我們得到：

$\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{z}$

$\Rightarrow \frac{y+2 x}{x y}=\frac{1}{z}$

$\Rightarrow z=\frac{x y}{2 x+y}$

證畢。   

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更新於: 2022年10月10日

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