驗證有理數加法的結合律，即 (x + y) + z = x + (y + z)，其中
(i) \( x=\frac{1}{2}, y=\frac{2}{3}, z=-\frac{1}{5} \)
(ii) \( x=\frac{-2}{5}, y=\frac{4}{3}, z=\frac{-7}{10} \)
(iii) \( x=\frac{-7}{11}, y=\frac{2}{-5}, z=\frac{-3}{22} \)
(iv) \( x=-2, y=\frac{3}{5}, z=\frac{-4}{3} \)
解題步驟
我們需要驗證給定有理數加法的結合律。
解答
結合律解釋說，數字的加法和乘法無論如何分組都是可能的。
因此，
(i) $(x+y)+z=(\frac{1}{2}+\frac{2}{3})+\frac{-1}{5}$
$=(\frac{1\times3+2\times2}{6})+\frac{-1}{5}$ (2和3的最小公倍數是6)
$=(\frac{3+4}{6})+\frac{-1}{5}$
$=\frac{7}{6}+\frac{-1}{5}$
$=\frac{7\times5+(-1)\times6}{30}$ (5和6的最小公倍數是30)
$=\frac{35-6}{30}$
$=\frac{29}{30}$
$x+(y+z)=\frac{1}{2}+(\frac{2}{3}+\frac{-1}{5})$
$=\frac{1}{2}+(\frac{2\times5+(-1)\times3}{15})$ (3和5的最小公倍數是15)
$=\frac{1}{2}+(\frac{10-3}{15})$
$=\frac{1}{2}+\frac{7}{15}$
$=\frac{1\times15+7\times2}{30}$ (2和15的最小公倍數是30)
$=\frac{15+14}{30}$
$=\frac{29}{30}$
因此驗證成立。
(ii) $(x+y)+z=(\frac{-2}{5}+\frac{4}{3})+\frac{-7}{10}$
$=(\frac{-2\times3+4\times5}{15})+\frac{-7}{10}$ (5和3的最小公倍數是15)
$=(\frac{-6+20}{15})+\frac{-7}{10}$
$=\frac{14}{15}+\frac{-7}{10}$
$=\frac{14\times2+(-7)\times3}{30}$ (15和10的最小公倍數是30)
$=\frac{28-21}{30}$
$=\frac{7}{30}$
$x+(y+z)=\frac{-2}{5}+(\frac{4}{3}+\frac{-7}{10})$
$=\frac{-2}{5}+(\frac{4\times10+(-7)\times3}{30})$ (3和10的最小公倍數是30)
$=\frac{-2}{5}+(\frac{40-21}{30})$
$=\frac{-2}{5}+\frac{19}{30}$
$=\frac{-2\times6+19\times1}{30}$ (5和30的最小公倍數是30)
$=\frac{-12+19}{30}$
$=\frac{7}{30}$
$(x+y)+z=x+(y+z)$
因此驗證成立。
(iii) $(x+y)+z=(\frac{-7}{11}+\frac{2}{-5})+\frac{-3}{22}$
$=(\frac{-7\times5+(-2)\times11}{55})+\frac{-3}{22}$ (11和5的最小公倍數是55)
$=(\frac{-35+(-22)}{55})+\frac{-3}{22}$
$=\frac{-57}{55}+\frac{-3}{22}$
$=\frac{-57\times2+(-3)\times5}{110}$ (55和22的最小公倍數是110)
$=\frac{-114-15}{110}$
$=\frac{-129}{110}$
$x+(y+z)=\frac{-7}{11}+(\frac{2}{-5}+\frac{-3}{22})$
$=\frac{-7}{11}+(\frac{-2\times22+(-3)\times5}{110})$ (5和22的最小公倍數是110)
$=\frac{-7}{11}+(\frac{-44-15}{110})$
$=\frac{-7}{11}+\frac{-59}{110}$
$=\frac{-7\times10+(-59)\times1}{110}$ (11和110的最小公倍數是110)
$=\frac{-70-59}{110}$
$=\frac{-129}{110}$
$(x+y)+z=x+(y+z)$
因此驗證成立。
(iv) $(x+y)+z=(-2+\frac{3}{5})+\frac{-4}{3}$
$=(\frac{-2\times5+3\times1}{5})+\frac{-4}{3}$ (1和5的最小公倍數是5)
$=(\frac{-10+3}{5})+\frac{-4}{3}$
$=\frac{-7}{5}+\frac{-4}{3}$
$=\frac{-7\times3+(-4)\times5}{15}$ (5和3的最小公倍數是15)
$=\frac{-21-20}{15}$
$=\frac{-41}{15}$
$x+(y+z)=-2+(\frac{3}{5}+\frac{-4}{3})$
$=-2+(\frac{3\times3+(-4)\times5}{15})$ (5和3的最小公倍數是15)
$=-2+(\frac{9-20}{15})$
$=-2+\frac{-11}{15}$
$=\frac{-2\times15+(-11)\times1}{15}$ (1和15的最小公倍數是15)
$=\frac{-30-11}{15}$
$=\frac{-41}{15}$
$(x+y)+z=x+(y+z)$
因此驗證成立。
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