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法律研究點$P( x,\ 4)$位於連線點$A( -5,\ 8)$和$B( 4,\ -10)$的線段上。求點P分線段AB的比。也求x的值。
已知：連線點$A( -5,\ 8)$和$B( 4,\ -10)$的線段AB，以及點$P( x,\ 4)$
要求：求P分線段AB的比，並求x的值。
解答：假設點$P( x,\ 4)$將線段AB分成m:n。
我們知道，如果有一條連線兩點$\ A( x_{1} ,\ y_{1}) \ $和 $B( x_{2} ,\ y_{2})$的線段，並且有一點$\ P( x,\ y)$位於線段上，並且以m:n的比例分線段，那麼
我們有 $P( x,\ y) =\left(\frac{nx_{1} +mx_{2}}{m+n} ,\ \frac{ny_{1} +my_{2}}{m+n}\right)$
$\therefore P( x,4) =\left(\frac{4m-5n}{m+n} ,\ \frac{-10m+8n}{m+n}\right)$
$\Rightarrow x=\frac{4m-5n}{m+n} \ \ and\ 4=\frac{-10m+8n}{m+n}$
$\Rightarrow x=\frac{4m-5n}{m+n} \ \ and\ 4=\frac{-10m+8n}{m+n}$
$\Rightarrow 4m+4n=-10m+8n$
$\Rightarrow 4m+10m=8n-4n$
$\Rightarrow 14m=4n$
$\Rightarrow \frac{m}{n} =\frac{4}{14} =\frac{2}{7}$
$m:n=2:7$
並且 $x=\frac{4m-5n}{m+n}$
$x=\frac{4\left(\frac{m}{n}\right) -5\left(\frac{n}{n}\right)}{\frac{m}{n}+\frac{n}{n}}$ $( 用n同時除分子和分母)$
$=\frac{4\left(\frac{2}{7}\right) -5( 1)}{\frac{2}{7} +1}$
$=\frac{\frac{8-35}{7}}{\frac{2+7}{7}}$
$=\frac{-27}{9}$
$=-3$
因此，點P以$2:7$的比例分線段，x的值為$-3$。
更新於： 2022年10月10日
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