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法律研究求直線\( 2 x+3 y-5=0 \)將連線點\( (8,-9) \)和\( (2,1) \)的線段分成幾部分的比值。也求出分點座標。
已知
直線\( 2 x+3 y-5=0 \)將連線點\( (8,-9) \)和\( (2,1) \)的線段分成幾部分。
需要做的事情
我們需要找到直線\( 2 x+3 y-5=0 \)將連線點\( (8,-9) \)和\( (2,1) \)的線段分成幾部分的比值，以及分點的座標。
解決方案
設直線 $2 x+3 y-5=0$ 將連線點 $A(8,-9)$ 和 $B(2,1)$ 的線段按 $k: 1$ 的比例分成幾部分，分點為 $P$。
利用分點公式，我們得到：
$(x,y)=(\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}ny_{1}}{m+n})$
$P$ 的座標為 $(\frac{k(2)+1(8)}{2+1}, \frac{k(1)+1(-9)}{2+1})$
$=(\frac{2k+8}{k+1}, \frac{k-9}{k+1})$
點 $P$ 在直線 $2 x+3y-5=0$ 上。
這意味著：
$2(\frac{2k+8}{k+1})+3(\frac{k-9}{k+1})-5=0$
$2(2k+8)+3(k-9)-5(k+1)=0$
$4k+16+3k-27-5 k-5=0$
$2k-16=0$
$k=8$
$\Rightarrow k: 1=8: 1$
因此，點 $P$ 將線段分成 $8: 1$ 的比例。
分點 $P=(\frac{2(8)+8}{8+1}, \frac{8-9}{8+1})$
$=(\frac{16+8}{9},\frac{-1}{9})$
$=(\frac{24}{9}, \frac{-1}{9})$
$=(\frac{8}{3}, \frac{-1}{9})$
因此，所需的分點為 $(\frac{8}{3}, \frac{-1}{9})$。
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