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法學確定直線$2x + y - 4 = 0$ 分割連線點$A(2, -2)$和$B(3, 7)$的線段的比例。
已知
直線 $2x + y - 4 = 0$ 分割連線點 $A(2, -2)$ 和 $B(3, 7)$ 的線段。
要求
我們需要找到分割比例。
解答
設直線 $2x + y - 4 = 0$ 以比例 $m : n$ 分割連線點 $A(2, -2), B(3, 7)$ 的線段，分割點為 $(x_1,y_1)$。
根據比例公式，如果點 $(x, y)$ 以比例 $m:n$ 分割連線點 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 的線段，則
$(x, y) = (\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n})$
因此，
$(x_1, y_1) = (\frac{m \times 3 + n \times 2}{m+n}, \frac{m \times 7 + n \times (-2)}{m+n})$
$= (\frac{3m+2n}{m+n}, \frac{7m-2n}{m+n})$
點 $(x, y)$ 在直線 $2x + y - 4 = 0$ 上。
這意味著點 $(x, y)$ 滿足上述方程。
$\Rightarrow 2(\frac{3m+2n}{m+n}) + \frac{7m-2n}{m+n} - 4 = 0$
$\Rightarrow (6m+4n) + (7m-2n) - 4(m+n) = 0$
$\Rightarrow 6m + 4n + 7m - 2n - 4m - 4n = 0$
$\Rightarrow 9m - 2n = 0$
$\Rightarrow 9m = 2n$
$\Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{2}{9}$
$\Rightarrow m:n = 2:9$
所需的分割比例為 $2:9$。
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