在一個高為\( 12 \mathrm{~cm} \),底半徑為\( 5 \mathrm{~cm} \)的圓柱體中鑽出一個圓錐形孔。圓錐的高和底半徑與圓柱相同。求剩餘圓柱體的表面積和體積。


已知

在一個高為\( 12 \mathrm{~cm} \),底半徑為\( 5 \mathrm{~cm} \)的圓柱體中鑽出一個圓錐形孔。

圓錐的高和底半徑與圓柱相同。

要求

求剩餘圓柱體的表面積和體積。

解答

圓柱底半徑 $r= 5\ cm$

圓柱高 $h = 12\ cm$

這意味著:

圓柱體積 $= \pi r^2 h$

$= \pi \times 5^2 \times 12$

$= 300 \pi\ cm^3$

圓錐半徑 $r= 5\ cm$

圓錐高 $h = 12\ cm$

這意味著:

圓錐體積 $= \frac{1}{3} \pi r^2 h$

因此:

剩餘圓柱體積 = 圓柱體積 - 圓錐體積

$=300 \pi -100 \pi$

$=200 \pi \mathrm{cm}^{3}$

圓錐斜高 $l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$

$=\sqrt{(5)^{2}+(12)^{2}}$

$=\sqrt{25+144}$

$=\sqrt{169}$

$=13 \mathrm{~cm}$

圓錐側面積 $=\pi r l$

$=\pi \times 5 \times 13$

$=65 \pi \mathrm{cm}^{2}$

圓柱表面積 $=2 \pi r h+\pi r^{2}$

$=2 \pi \times 5 \times 12+\pi \times 5^2$

$=120 \pi+25 \pi$

$=145 \pi \mathrm{cm}^{2}$

剩餘圓柱體總表面積 $=65 \pi+145 \pi-25\pi$

$=185 \pi \mathrm{cm}^{2}$

剩餘圓柱體的表面積和體積分別為 $185 \pi\ cm^2$ 和 $200 \pi\ cm^3$。

更新於:2022年10月10日

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