在一個高為\( 12 \mathrm{~cm} \),底半徑為\( 5 \mathrm{~cm} \)的圓柱體中鑽出一個圓錐形孔。圓錐的高和底半徑與圓柱相同。求剩餘圓柱體的表面積和體積。
已知
在一個高為\( 12 \mathrm{~cm} \),底半徑為\( 5 \mathrm{~cm} \)的圓柱體中鑽出一個圓錐形孔。
圓錐的高和底半徑與圓柱相同。
要求
求剩餘圓柱體的表面積和體積。
解答
圓柱底半徑 $r= 5\ cm$
圓柱高 $h = 12\ cm$
這意味著:
圓柱體積 $= \pi r^2 h$
$= \pi \times 5^2 \times 12$
$= 300 \pi\ cm^3$
圓錐半徑 $r= 5\ cm$
圓錐高 $h = 12\ cm$
這意味著:
圓錐體積 $= \frac{1}{3} \pi r^2 h$
因此:
剩餘圓柱體積 = 圓柱體積 - 圓錐體積
$=300 \pi -100 \pi$
$=200 \pi \mathrm{cm}^{3}$
圓錐斜高 $l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$
$=\sqrt{(5)^{2}+(12)^{2}}$
$=\sqrt{25+144}$
$=\sqrt{169}$
$=13 \mathrm{~cm}$
圓錐側面積 $=\pi r l$
$=\pi \times 5 \times 13$
$=65 \pi \mathrm{cm}^{2}$
圓柱表面積 $=2 \pi r h+\pi r^{2}$
$=2 \pi \times 5 \times 12+\pi \times 5^2$
$=120 \pi+25 \pi$
$=145 \pi \mathrm{cm}^{2}$
剩餘圓柱體總表面積 $=65 \pi+145 \pi-25\pi$
$=185 \pi \mathrm{cm}^{2}$
剩餘圓柱體的表面積和體積分別為 $185 \pi\ cm^2$ 和 $200 \pi\ cm^3$。
廣告