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法律研究一個金屬圓柱體的半徑為 3 釐米，高為 5 釐米。為了減輕其重量，在圓柱體中鑽了一個圓錐形孔。圓錐形孔的半徑為 $\frac{3}{2}$ 釐米，深度為 $\frac{8}{9}$ 釐米。計算圓柱體中剩餘金屬體積與錐形挖去金屬體積的比值。
已知
圓柱體半徑 $R=3\ cm$
圓柱體高度 $H=5\ cm$
圓錐體半徑 $r=\frac{3}{2}$ cm
圓錐體高度 $h=\frac{8}{9}$ cm
要求
我們必須計算圓柱體中剩餘金屬體積與錐形挖去金屬體積的比值。
解答
我們知道，
高為 $H$、半徑為 $R$ 的圓柱體體積$=\pi R^2H$
高為 $h$、半徑為 $r$ 的圓錐體體積$=\frac{1}{3}\pi r^2h$
因此，
金屬圓柱體的體積$=\frac{22}{7}\times(3)^2\times5\ cm^3$
$=\frac{22}{7}\times45\ cm^3$
移除的圓錐體體積$=\frac{1}{3}\times\frac{22}{7}\times(\frac{3}{2})^2\times\frac{8}{9}\ cm^3$
$=\frac{22}{7}\times(\frac{9\times8}{3\times4\times9})\ cm^3$
$=\frac{22}{7}\times\frac{2}{3}\ cm^3$
金屬圓柱體中剩餘金屬的體積$=$ 金屬圓柱體的體積 $-$ 移除的圓錐體體積
$=(\frac{22}{7}\times45-\frac{22}{7}\times\frac{2}{3})\ cm^3$
$=\frac{22}{7}(45-\frac{2}{3})\ cm^3$
$=\frac{22}{7}(\frac{45\times3-2}{3})\ cm^3$
$=\frac{22}{7}\times\frac{133}{3}\ cm^3$
圓柱體中剩餘金屬體積與錐形挖去金屬體積的比值
$=\frac{\frac{22}{7}\times\frac{133}{3}}{\frac{22}{7}\times\frac{2}{3}}$
$=\frac{133}{3}\times\frac{3}{2}$
$=\frac{133}{2}$
圓柱體中剩餘金屬體積與錐形挖去金屬體積的比值為 $133:2$。
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