一個直圓錐的臺體，底面直徑為 \( 20 \mathrm{~cm} \)，頂面直徑為 \( 12 \mathrm{~cm} \)，高為 \( 3 \mathrm{~cm} \)。求其全面積和體積。

已知

一個直圓錐的臺體，底面直徑為 \( 20 \mathrm{~cm} \)，頂面直徑為 \( 12 \mathrm{~cm} \)，高為 \( 3 \mathrm{~cm} \)。

要求

我們需要求出其全面積和體積。

解答

臺體底面直徑 $= 20\ cm$

這意味著，

臺體半徑 $r_1 =\frac{20}{2}$

$= 10\ cm$

頂面直徑 $= 12\ cm$

頂面半徑 $r_{2}=\frac{12}{2}$

$=6 \mathrm{~cm}$

圓錐高 $h=3 \mathrm{~cm}$

因此，

母線長 $l=\sqrt{h^{2}+(r_{1}-r_{2})^{2}}$

$=\sqrt{(3)^{2}+(10-6)^{2}}$

$=\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}$

$=\sqrt{9+16}$

$=\sqrt{25}$

$=5 \mathrm{~cm}$

臺體全面積 $=\pi(r_{1}+r_{2}) l+\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}$

$=\pi(10+6) \times 5+\pi(10)^{2}+\pi(6)^{2}$

$=80 \pi+100 \pi+36 \pi$

$=216 \pi$

$=216 \times \frac{22}{7}$

$=678.85 \mathrm{~cm}^{2}$

臺體體積 $=\frac{\pi}{3}(r_{1}^{2}+r_{1} r_{2}+r_{2}^{2}) h$

$=\frac{22}{3 \times 7}[(10)^{2}+10 \times 6+(6)^{2}] 3$

$=\frac{22}{21}[100+60+36] \times 3$

$=\frac{22}{21} \times 196 \times 3$

$=616 \mathrm{~cm}^{3}$

其全面積和體積分別為 $678.85\ cm^2$ 和 $616\ cm^3$。

教程點

更新於: 2022年10月10日

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