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法律研究一個直圓錐臺的兩個圓形底面的半徑分別為\( 12 \mathrm{~cm} \)和\( 3 \mathrm{~cm} \)，高為\( 12 \mathrm{~cm} \)。求該圓錐臺的表面積和體積。
已知
一個直圓錐臺的兩個圓形底面的半徑分別為\( 12 \mathrm{~cm} \)和\( 3 \mathrm{~cm} \)，高為\( 12 \mathrm{~cm} \)。
要求
求該圓錐臺的總表面積和體積。
解
圓錐臺的高 \(h = 12\ cm\)
圓錐臺上底半徑 \(r_1 = 12\ cm\)
圓錐臺下底半徑 \(r_2 = 3\ cm\)
因此，
圓錐臺的母線長 \(l=\sqrt{(h)^{2}+(r_{1}-r_{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(12)^{2}+(12-3)^{2}}\)
\(=\sqrt{(12)^{2}+(9)^{2}}\)
\(=\sqrt{144+81}\)
\(=\sqrt{225}\)
\(=15 \mathrm{~cm}\)
圓錐臺的總表面積 \(=\pi(r_{1}+r_{2}) l+\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}\)
\(=\pi[(r_{1}+r_{2}) l+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}]\)
\(=\pi[(12+3) \times 15+(12)^{2}+(3)^{2}]\)
\(=\pi[15 \times 15+144+9]\)
\(=\pi[225+144+9]\)
\(=\pi \times 378\)
\(=378 \pi \mathrm{cm}^{2}\)
圓錐臺的體積 \(=\frac{\pi}{3}(r_{1}^{2}+r_{1} r_{2}+r_{2}^{2}) h\)
\(=\frac{\pi}{3}[(12)^{2}+12 \times 3+(3)^{2}] \times 12\)
\(=\frac{\pi}{3} \times 12[144+36+9]\)
\(=4 \pi(189) \mathrm{cm}^{3}\)
\(=756 \pi \mathrm{cm}^{3}\)
圓錐臺的總表面積和體積分別為 \(378 \pi\ cm^2\) 和 \(756 \pi\ cm^3\)。
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