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法律研究一個內徑和外徑分別為 2 釐米和 4 釐米的空心球體被熔化成一個底半徑為 4 釐米的圓錐體。求圓錐體的高和斜高。
已知
一個內徑和外徑分別為 2 釐米和 4 釐米的空心球體被熔化成一個底半徑為 4 釐米的圓錐體。
要求
我們需要求出圓錐體的高和斜高。
解答
空心球體的內半徑 $r = 2\ m$
空心球體的外半徑 $R = 4\ m$
空心球體的體積 $=\frac{4}{3} \pi(\mathrm{R}^{3}-r^{3})$
$=\frac{4}{3} \pi(4^{3}-2^{3})$
$=\frac{4}{3} \pi(64-8)$
$=\frac{4}{3} \pi \times 56$
$=\frac{224}{3} \pi \mathrm{cm}^{3}$
所形成的圓錐體底半徑 $r_{1}=4 \mathrm{~cm}$
設 $h$ 為圓錐體的高，$l$ 為圓錐體的斜高。
圓錐體的體積 = 空心球體的體積
因此，
$\frac{1}{3} \pi r_{1}^{2} h=\frac{224}{3} \pi$
$\Rightarrow \frac{1}{3} \pi(4)^{2} h=\frac{224}{3} \pi$
$\Rightarrow \frac{16}{3} \pi h=\frac{224}{3} \pi$
$\Rightarrow h=\frac{224 \pi}{3} \times \frac{3}{16 \pi}$
$\Rightarrow h=14$
圓錐體的高為 14 釐米
圓錐體的斜高 $l=\sqrt{r_{1}^{2}+h^{2}}$
$=\sqrt{(4)^{2}+(14)^{2}}$
$=\sqrt{16+196}$
$=\sqrt{212}$
$=14.56 \mathrm{~cm}$
圓錐體的高和斜高分別為 14 釐米和 14.56 釐米。
更新於：2022年10月10日
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