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法律研究一個空心球殼的內表面和外表面的直徑分別為\( 6 \mathrm{~cm} \)和\( 10 \mathrm{~cm} \)。如果將其熔化並重鑄成一個直徑為\( 14 \mathrm{~cm} \)的實心圓柱體，求圓柱體的高度。
已知
一個空心球殼的內表面和外表面的直徑分別為\( 6 \mathrm{~cm} \)和\( 10 \mathrm{~cm} \)。
將其熔化並重鑄成一個直徑為\( 14 \mathrm{~cm} \)的實心圓柱體。
要求
我們需要求出圓柱體的高度。
解答
空心球殼的外直徑 $= 10\ cm$
空心球殼的內直徑 $= 6\ cm$
這意味著，
外半徑 $R =\frac{10}{2}$
$= 5\ cm$
內半徑 $r =\frac{6}{2}$
$= 3\ cm$
所用金屬的體積 $=\frac{4}{3} \pi(\mathrm{R}^{3}-r^{3})$
$=\frac{4}{3} \pi[5^{3}-3^{3}]$
$=\frac{4}{3} \pi[125-27]$
$=\frac{4}{3} \pi \times 98 \mathrm{~cm}^{3}$
實心圓柱體的體積 $=$ 所用金屬的體積
$=\frac{4}{3} \pi \times 98 \mathrm{~cm}^{3}$
實心圓柱體的直徑 $=14 \mathrm{~cm}$
實心圓柱體的半徑 $r_{1}=\frac{14}{2}$
$=7 \mathrm{~cm}$
設 $h$ 為圓柱體的高度。
因此，
$\pi r_{1}^{2} h=\frac{4}{3} \pi \times 98$
$\Rightarrow \pi(7)^{2} h=\frac{4}{3} \pi \times 98$
$\Rightarrow 49 \pi h=\frac{98 \times 4}{3} \pi$
$\Rightarrow h=\frac{98 \times 4 \pi}{3 \times 49 \times \pi}$
$\Rightarrow h=\frac{8}{3}$
實心圓柱體的高度為 $\frac{8}{3} \mathrm{~cm}$。
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