一個空心球殼的內外表面直徑分別為\( 10 \mathrm{~cm} \)和\( 6 \mathrm{~cm} \)。如果將其熔化並重鑄成一個長為\( 2 \frac{2}{3} \mathrm{~cm} \)的實心圓柱體，求圓柱體的直徑。

已知

一個空心球殼的內外表面直徑分別為\( 10 \mathrm{~cm} \)和\( 6 \mathrm{~cm} \)。

將其熔化並重鑄成一個長為\( 2 \frac{2}{3} \mathrm{~cm} \)的實心圓柱體。

要求

我們需要求出圓柱體的直徑。

解

球體外表面直徑 $=10 \mathrm{~cm}$

球體內直徑 $=6 \mathrm{~cm}$

因此，

外半徑 $\mathrm{R}=\frac{10}{2}$

$=5 \mathrm{~cm}$

內半徑 $r=\frac{6}{2}$

$=3 \mathrm{~cm}$

所用金屬的體積 $=\frac{4}{3} \pi[\mathrm{R}^{3}-r^{3}]$

$=\frac{4}{3} \pi[5^{3}-3^{3}]$

$=\frac{4}{3} \pi(125-27)$

$=\frac{4}{3} \pi \times 98$

$=\frac{392 \pi}{3} \mathrm{~cm}^{3}$

因此，

形成的實心圓柱體的體積 $=\frac{392}{3} \pi \mathrm{~cm}^{3}$

圓柱體的高度 $h=2 \frac{2}{3} \mathrm{~cm}$

$=\frac{8}{3} \mathrm{~cm}$
設半徑為 $r$。

$\Rightarrow \pi r^{2} h=\frac{392}{3} \pi$

$\Rightarrow \pi r^{2} \times \frac{8}{3}=\frac{392}{3} \pi$

$\Rightarrow r^{2}=\frac{392 \pi}{3} \times \frac{3}{8 \pi}$

$\Rightarrow r^{2}=49$

$\Rightarrow r=7\ cm$

$\Rightarrow$ 直徑 $=2 r$

$=2 \times 7$

$=14 \mathrm{~cm}$

圓柱體的直徑為 $14\ cm$。

教程點

更新於: 2022 年 10 月 10 日

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