△ABC 和 △DBC 是以 BC 為底的兩個等腰三角形，頂點 A 和 D 在 BC 的同側（見圖 7.39）。如果 AD 的延長線與 BC 相交於 P，證明：
(i) △ABD ≅ △ACD
(ii) △ABP ≅ △ACP
(iii) AP 平分∠A 和∠D。
(iv) AP 是 BC 的垂直平分線。
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已知

△ABC 和 △DBC 是以 BC 為底的兩個等腰三角形，頂點 A 和 D 在 BC 的同側。AD 的延長線與 BC 相交於 P。

要求

我們需要證明：

(i) △ABD ≅ △ACD

(ii) △ABP ≅ △ACP
(iii) AP 平分∠A 和∠D。
(iv) AP 是 BC 的垂直平分線。

解答

(i) 我們知道：

邊邊邊全等定理指出：如果一個三角形的三個邊分別等於另一個三角形的三個對應邊，那麼這兩個三角形全等。

考慮△ABD 和△ACD

已知：

△ABC 和 △DBC 是等腰三角形，

這意味著：

AB=AC，BD=CD

因為 AD 是公共邊

AD=AD

因此：

△ABD ≅ △ACD

(ii) 考慮△ABP 和△ACP

已知：

△ABC 是等腰三角形，

這意味著：

AB=AC

因為 AP 是公共邊

我們得到：

AP=AP

我們也知道：

全等三角形的對應部分相等：如果兩個三角形全等，則它們的對應角和對應邊都相等。

因此：

∠PAB=∠PAC。

因此：

根據邊角邊全等定理

如果兩個三角形的一對對應邊和它們所夾的角分別相等，那麼這兩個三角形全等。

 因此，△ABP ≅ △ACP。

(iii) 我們知道：

全等三角形的對應部分相等：如果兩個三角形全等，則它們的對應角和對應邊都相等。

因此：

∠PAB=∠PAC (因為△ABD ≅ △ACD)

已知：

AP 平分∠A…(i)

考慮△BPD 和△CPD

我們也知道：

邊邊邊全等定理指出：如果一個三角形的三個邊分別等於另一個三角形的三個對應邊，那麼這兩個三角形全等。

因為 PD 是公共邊。

我們得到，PD=PD

因為△DBC 是等腰三角形，我們得到：

BD=CD

根據全等三角形的對應邊相等，因為△ABP ≅ △ACP

因此我們得到：

△BPD ≅ △CPD

因此，∠BDP=∠CDP (全等三角形的對應角相等)…(ii)

現在，比較(i)和(ii)，我們可以說 AP 平分∠A 和∠D。

(iv) 考慮△BPD 和△CPD

我們知道：

全等三角形的對應部分相等：如果兩個三角形全等，則它們的對應角和對應邊都相等。

因此：

∠BPD=∠CPD

並且 BP=CP…(i)

我們也知道：

一條直線上的角之和為 180°

∠BPD+∠CPD=180°

因為∠BPD=∠CPD

我們得到：

2∠BPD=180°

∠BPD=180°/2

∠BPD=90°…(ii)

從(i)和(ii)我們可以說：

AP 是 BC 的垂直平分線。