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法學在任意三角形\( \mathrm{ABC} \)中，如果\( \angle \mathrm{A} \)的角平分線與\( \mathrm{BC} \)的垂直平分線相交，證明它們相交於三角形\( \mathrm{ABC} \)的外接圓上。
已知：
在三角形\( \mathrm{ABC} \)中，\( \angle \mathrm{A} \)的角平分線與\( \mathrm{BC} \)的垂直平分線相交。
要求：
我們必須證明它們相交於三角形\( \mathrm{ABC} \)的外接圓上。
解答
設$ABC$是一個三角形，其中\( \angle \mathrm{A} \)的角平分線與\( \mathrm{BC} \)的垂直平分線在$E$點相交，如圖所示。
連線 $BE$ 和 $CE$
$AE$ 是 $\angle BAC$ 的平分線
這意味著：
$\angle BAE = \angle CAE$
$弧 BE = 弧 EC$
這意味著：
弦 $BE =$ 弦 $EC$
在 $\triangle BDE$ 和 $\triangle CDE$ 中：
$DE = DE$ (公共邊)
$BD = CD$ (已知)
$BE = CE$ (已證)
因此，根據SSS全等，
$\triangle BDE \cong \triangle CDE$
這意味著：
$\angle BDE = \angle CDE$
$\angle BDE + \angle CDE = 180^o$ (線性對)
$2\angle BDE=180^o$
$\angle BDE=\frac{180^o}{2}$
$\angle BDE=90^o$
$\angle CDE = \angle BDE = 90^o$
因此，
$DE \perp BC$
$BE = CE$ 且 $DE \perp BC$
點 $E$ 與點 $B$ 和 $C$ 等距。只有當點 $E$ 位於 $BC$ 的垂直平分線上時才有可能。
這意味著：
$ED$ 是 $BC$ 的垂直平分線。
因此，$BC$ 的垂直平分線和 $\angle A$ 的角平分線在三角形\( \mathrm{ABC} \)的外接圓上的 $E$ 點相交。
證畢。
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