多項式的係數與零點之間的關係

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簡介

多項式是包含變數和係數的數學表示式。詹姆斯·瓦德爾·亞歷山大二世發明了多項式的概念。與多項式相關的術語有很多。在本教程中，我們將討論多項式的含義，以及多項式方程的零點和係數之間各種相關性，並提供解題示例。

多項式

多項式被定義為包含一個或多個變數項乘以常數項的代數表示式。與多項式相關的有兩個術語，例如係數（即常數）和變數。例如，$\mathrm{\mathit{f}(p)=p^2+2p+5}$ 是一個多項式的例子。給定的多項式用 f(p) 表示。這裡，p 和 p² 是變數項，它們與常數相乘。“多項式”一詞來源於兩個單詞，即“poly”（意為多）和“nominal”（意為項）。多項式廣泛應用於各個領域，包括化學、物理、數學、工程和社會科學。

多項式的零點

多項式的零點被定義為使多項式表示式為零的數值。換句話說，多項式的根被稱為多項式的零點。瞭解多項式的零點是必要的，因為它決定了多項式的次數。根據次數，存在各種型別多項式表示式。例如，如果 f(m)=0，則 m 被稱為多項式 f(p) 的零點。

多項式的係數

我們已經看到，多項式表示式包含兩種不同型別的項：常數項和變數項。常數項被稱為多項式的係數。係數通常是整數。但是，它們也可以是分數、小數或虛數。如果變數沒有關聯或乘以常數，則係數為 1。讓我們考慮一個多項式表示式的例子，即 $\mathrm{\mathit{f}(p)=4p^3-p+0.5}$。在這種情況下，係數為 4、-1 和 0.5。

一次多項式的零點與係數之間的關係

在數學中，一次多項式是指只包含一個變數且最高次數為 1 的多項式。一次多項式的數學表示式可以寫成

$$\mathrm{\mathit{f}(p)=np+q}$$

其中 p 是唯一的變數。此外，n（≠0）和 1 是係數。由於零點表示多項式的次數；因此，任何任意一次多項式都存在一個零點。多項式的零點 $\mathrm{=\frac{-q}{n}=\frac{-(常數項)}{p 的係數}}$

二次多項式的零點與係數之間的關係

在數學中，二次多項式是指包含一個或多個變數且最高次數為 2 的多項式。它也稱為二次函式。二次多項式的數學表示式可以寫成

$$\mathrm{\mathit{f}(p)=mp^2+np+q}$$

其中 p² 和 p 是變數。此外，m（≠0）、n 和 q 是係數。

由於零點表示多項式的次數；因此，任何任意二次多項式都存在兩個零點。假設 α 和 β 是二次多項式的零點。二次多項式的零點與係數之間的關係總結如下。

• 零點之和 − $\mathrm{α+β=\frac{-n}{m}=\frac{-(p 的係數)}{p^2 的係數}}$

• 零點之積 − $\mathrm{α\times β=\frac{q}{m}=\frac{常數項}{p^2 的係數}}$

三次多項式的零點與係數之間的關係

在代數中，三次多項式是指包含一個或多個變數且最高次數為 3 的多項式。它也稱為三次函式。三次多項式的數學表示式可以寫成

$$\mathrm{\mathit{f}(p)=mp^3+np^2+qp+r}$$

其中 p³、p² 和 p 是變數。此外，m（≠0）、n、q 和 r 是係數。

由於零點表示多項式的次數；因此，任何任意三次多項式都存在三個零點。假設 α、β 和 γ 是二次多項式的零點。三次多項式的零點與係數之間的關係總結如下。

• 零點之和 − $\mathrm{α+β+λ=\frac{-n}{m}=\frac{-(p^2 的係數)}{p^3 的係數 }}$

• 零點之積 − $\mathrm{α\times β\times λ=\frac{-r}{m}=\frac{-(常數項)}{p^3 的係數 }}$

• 零點乘積之和 − $\mathrm{ αβ+βλ+αλ=\frac{q}{m}=\frac{p 的係數}{p^3 的係數 }}$

解題示例

示例 1

計算以下多項式的零點之和與零點之積。

$$\mathrm{\mathit{f}(p)=0.25p^2-p+1}$$

解答

給定的二次多項式為

$$\mathrm{\mathit{f}(p)=0.25p^2-p+1}$$

與二次多項式的標準形式比較，得到

m = 0.25，n = -1，q =1

零點之和 = $\mathrm{\frac{-n}{m}=\frac{-(-1)}{0.25}=4}$

零點之積 =$\mathrm{\frac{q}{m}=\frac{1}{0.25}=4}$

∴ 給定多項式表示式的零點之和與零點之積分別為 4 和 4。

示例 2

計算以下多項式的零點之和與零點之積。另外，求零點乘積之和。

$$\mathrm{\mathit{f}(p)=(-27p^3)-9p^2+6p}$$

解答

給定的三次多項式為

$$\mathrm{\mathit{f}(p)=(-27p^3)-9p^2+6p}$$

與三次多項式的標準形式比較，得到

m = -27，n = -9，q =6，r = 0

零點之和 =$\mathrm{\frac{-n}{m}=\frac{-(-9)}{27}=1/3}$

零點之積 $\mathrm{=-\frac{r}{m}=\frac{0}{27}=0}$

零點乘積之和 = $\mathrm{\frac{q}{m}=\frac{6}{-27}=\frac{-2}{9}}$

∴ 給定多項式表示式的零點之和與零點之積分別為 $\mathrm{\frac{1}{3}}$ 和 0。另外，零點乘積之和為 $\mathrm{\frac{-2}{9}}$。

示例 3

計算多項式的零點 −

$$\mathrm{\mathit{f}(p)=0.5p-25}$$

解答

給定的一次多項式為

$$\mathrm{\mathit{f}(p)=0.5p-25}$$

與一次多項式的標準形式比較，得到

n = 0.5，q = -25

多項式的零點為 =$\mathrm{\frac{-q}{n}=\frac{-(-25)}{0.5}=50}$

∴ 多項式的零點為 50。

文字題

問題 1：計算以下多項式的零點之和與零點之積。

$$\mathrm{\mathit{f}(p)=1.5p^3+4p^2-7.5p+2}$$

問題 2：計算以下多項式的零點之和與零點之積。

$$\mathrm{\mathit{f}(p)=2p^2-5p-3}$$

結論

本教程簡要介紹了多項式的係數與零點之間的關係。簡要描述了多項式及其相關術語的基本含義。此外，還提供了一些解題示例，以便更好地理解這一概念。總之，本教程可能有助於理解多項式的係數與零點之間關係的基本概念。

常見問題

1. 如果多項式的一個根為零，則零點之積是多少？

如果多項式的一個根為 0，則零點之積為零。

2. 多項式有多少個零點？

零點的數量取決於多項式的次數。

3. 我們能否確定次數大於三的多項式的零點？

可以。我們可以透過找到次數大於三的多項式的根來確定零點。但是，計算過程冗長且耗時。

4. 如果給出零點之和與零點之積，我們能否確定多項式表示式？

可以。假設二次多項式的零點之和與零點之積分別為 α+β 和 αβ。然後可以使用以下公式獲得多項式表示式

$$\mathrm{\mathit{ f}(p)=p^2-(α+β)p+αβ}$$

$$\mathrm{或 \mathit{f}(p)=p^2-(零點之和)p+零點之積}$$

5. 多項式表示式的應用有哪些？

多項式廣泛應用於各個領域，包括化學、物理、數學、工程和社會科學。