證明 $2+\sqrt{2}$ 不是有理數。

已知

給定的數字為 $2+\sqrt{2}$
 

目標

我們要證明 $2+\sqrt{2}$ 不是有理數。

解決方案

我們假設 $2+\sqrt{2}$ 是有理數。

因此，它可以寫成 $\frac{a}{b}$ 的形式，其中 a、b 為互素，且 b 不等於 0。

$2+\sqrt{2}=\frac{a}{b}$

$\sqrt{2} = \frac{a}{b} - 2$

$\sqrt{2} = \frac{a -2b}{b}$

這裡，a、b 和 $-2$ 是整數。

因此，$\frac{a -2b}{b}$ 是有理數。

但是，我們已經知道，$\sqrt{2}$ 是無理數。

這與假設 $2+\sqrt{2}$ 是有理數矛盾。

因此，$2+\sqrt{2}$ 不是有理數。

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更新於:10-Oct-2022

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