證明根號2不是一個有理數。

為了證明這一點，我們首先需要理解定理 1.3： 

設 p 為一個素數。如果 p 整除 a2，則 p 整除 a，其中 a 是一個正整數。

現在，

讓我們假設，相反，√2 是有理數。

因此，我們可以找到整數 a 和 b（≠ 0），使得 √2 = 𝑎/𝑏 。

其中，a 和 b 互質。

⇒    (√2)2 = (𝑎/𝑏)2

⇒    2 = 𝑎2/𝑏2

⇒    2𝑏2 = 𝑎2

因此，2 整除 𝑎2。

現在，根據定理 1.3，可以得出 2 整除 a。

所以，我們可以寫成 a = 2c，其中 c 是某個整數。

⇒    𝑎2 = 4𝑐2

⇒    2𝑏2 = 4𝑐2         (使用，2𝑏2 = 𝑎2)

⇒    𝑏2 = 2𝑐2

因此，2 整除 𝑏2。

現在，根據定理 1.3，可以得出 2 整除 b。

因此，a 和 b 至少有 2 作為公因子。

但這與 a 和 b 除了 1 之外沒有其他公因子的事實相矛盾。

這種矛盾是由於我們錯誤地假設 √2 是有理數而產生的。

因此，我們得出結論，√2 是無理數。

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更新於： 2022 年 10 月 10 日

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