證明 (6)^1/3 是非有理數。

已知

給定的數是 (6)^1/3
 

要求

我們必須證明 (6)^1/3 是非有理數。

解

(6)^1/3 = ³√6

假設 ³√6 是有理數。

因此，它可以寫成 a/b 的形式，其中 a、b 互質（除了 1 之外沒有其他公因子），且 b 不等於 0。

(6)^1/3 = a/b

6 = (a/b)³

6 = a³/b³

6b³ = a³

因此，a³ 可被 6 整除，a 也可被 6 整除。

所以，我們可以寫成 a = 6c，其中 c 為某個整數。

代入 a = 6c，

6b³ = (6c)³

6b³ = 6³c³

b³ = 6²c³

這意味著 b³ 可被 6 整除，因此 b 也可被 6 整除。

因此，a 和 b 有公因子 6。

但這與 a 和 b 互質（除了 1 之外沒有其他公因子）的假設相矛盾。

所以，(6)^1/3 是有理數的假設是錯誤的。

因此，(6)^1/3不是有理數。

教程點

更新於：2022年10月10日

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