證明點(2, 3)、(-4, -6)和(1, 3/2)不能構成一個三角形。
已知
已知點為(2, 3)、(-4, -6)和(1, 3/2)。
目標
我們必須證明給定點不能構成一個三角形。
解答
設三個點為\( \mathrm{A}(2,3), \mathrm{B}(-4,-6) \)和\( C(1,\frac{3}{2}) \).
我們知道：
兩點\( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \)和\( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \)之間的距離為\( \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \).
因此：
\( \mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)
\( =\sqrt{(-4-2)^{2}+(-6-3)^{2}} \)
\( =\sqrt{(-6)^{2}+(-9)^{2}} \)
\( =\sqrt{36+81}=\sqrt{117} \)
\( \mathrm{BC}=\sqrt{(1+4)^{2}+(\frac{3}{2}+6)^{2}} \)
\( =\sqrt{(5)^{2}+(\frac{3+12}{2})^{2}} \)
\( =\sqrt{25+\frac{225}{4}} \)
\( =\sqrt{\frac{25(4)+225}{4}} \)
\( =\sqrt{\frac{100+225}{4}} \)
\( =\sqrt{\frac{325}{4}} \)
\( \mathrm{CA}=\sqrt{(2-1)^{2}+(3-\frac{3}{2})^{2}} \)
\( =\sqrt{(1)^{2}+(\frac{3(2)-3}{2})^{2}} \)
\( =\sqrt{1+\frac{9}{4}} \)
\( =\sqrt{\frac{4(1)+9}{4}} \)
\( =\sqrt{\frac{13}{4}} \)
這裡：
\( \mathrm{BC}+\mathrm{CA}=\sqrt{\frac{325}{4}}+\sqrt{\frac{13}{4}} \)
\( \mathrm{AB}=\sqrt{117} \)
但是，\( \sqrt{\frac{325}{4}}+\sqrt{\frac{13}{4}}<\sqrt{117} \)
因此，給定點不能構成一個三角形。
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