如果 $x = 2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{2}{3}}$，證明 $x^3 - 6x = 6$。

已知

$x = 2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{2}{3}}$

要求：

我們需要證明 $x^3 - 6x = 6$。

解

我們知道，

$(a^{m})^{n}=a^{m n}$

$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$

$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$

$a^{0}=1$

因此，

$x=2^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{2}{3}}$

兩邊立方，我們得到，

$x^{3}=(2^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{2}{3}})^{3}$

$=(2^{\frac{1}{3}})^3+(2^{\frac{2}{3}})^{3}+3 \times 2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{2}{3}}(2^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{2}{3}})$

$=2+4+3 \times 2^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}} \times x$

$=6+3 \times 2 \times x$

$=6 x+6$

$\Rightarrow x^{3}-6 x=6$

證畢。

教程點

更新於: 2022年10月10日

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