如果\( x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=98 \)，求\( x^{3}+\frac{1}{x^{3}} \)的值。

已知

\( x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=98 \)

要求

我們必須找到\( x^{3}+\frac{1}{x^{3}} \)的值。

解答

我們知道，

$(a+b)^3=a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$

因此，

$(x+\frac{1}{x})^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2 \times x \times \frac{1}{x}$

$=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2$

$=98+2$

$=100$

$=(10)^{2}$

$\Rightarrow x+\frac{1}{x}=10$

兩邊取三次方，我們得到，

$(x+\frac{1}{x})^{3}=(10)^{3}$

$\Rightarrow x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3 \times x \times \frac{1}{x}(x+\frac{1}{x})=1000$

$\Rightarrow x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3 \times 10=1000$

$\Rightarrow x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+30=1000$

$\Rightarrow x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=1000-30$

$\Rightarrow x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=970$

\( x^{3}+\frac{1}{x^{3}} \)的值為$970$。 

教程點

更新於: 2022年10月10日

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