如果\( x-\frac{1}{x}=7 \)，求\( x^{3}-\frac{1}{x^{3}} \)的值。

已知

\( x-\frac{1}{x}=7 \)

求解

我們需要求\( x^{3}-\frac{1}{x^{3}} \)的值。

解答

我們知道：

$(a-b)^3=a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$

因此：

$x-\frac{1}{x}=7$

兩邊立方，得到：

$(x-\frac{1}{x})^{3}=(7)^{3}$

$\Rightarrow x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3\times x \times \frac{1}{x}(x-\frac{1}{x})=343$

$\Rightarrow x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3 \times 7=343$

$\Rightarrow x^{3}-\frac{1}{x^{3}}=343+21$

$\Rightarrow x^{3}-\frac{1}{x^{3}}=364$

因此，\( x^{3}-\frac{1}{x^{3}} \)的值為364。

教程點

更新於：2022年10月10日

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