如果\( x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=119 \)，求\( x^{3}-\frac{1}{x^{3}} \)的值。

已知

\( x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=119 \)

要求

我們必須找到\( x^{3}-\frac{1}{x^{3}} \)的值。

解答

$x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=119$

兩邊同時加上2，得到：

$x^{4}+\frac{1}{x^{4}}+2=119+2$

$(x^{2})^{2}+(\frac{1}{x^{2}})^{2}+2 \times x^2 \times \frac{1}{x^2}=121$

$(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{2}=(11)^{2}$

$\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=11$

類似地，

$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=11$

兩邊同時減去2，得到：

$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2=11-2$

$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2\times x \times \frac{1}{x}=9$

$(x-\frac{1}{x})^{2}=(3)^{2}$

$\Rightarrow x-\frac{1}{x}=3$

類似地，

$x-\frac{1}{x}=3$

兩邊同時立方，得到：

$(x-\frac{1}{x})^{3}=(3)^{3}$

$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3 \times x \times \frac{1}{x}(x-\frac{1}{x})=27$

$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3 \times 3=27$

$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-9=27$

$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}=27+9$

$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}=36$

因此，\( x^{3}-\frac{1}{x^{3}} \)的值為36。

教程點

更新於： 2022年10月10日

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