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法律學如果\( x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} \)，求\( 4 x^{3}+2 x^{2}-8 x+7 \)的值。
已知
\( x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} \)
要求：
我們需要求\( 4 x^{3}+2 x^{2}-8 x+7 \)的值。
解答
我們知道，
分母為${\sqrt{a}}$的分數的有理化因數為${\sqrt{a}}$。
分母為${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$的分數的有理化因數為${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。
分母為${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的分數的有理化因數為${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。
因此，
$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
$\Rightarrow 2 x=\sqrt{3}+1$
$\Rightarrow 2 x-1=\sqrt{3}$
兩邊平方，得到：
$(2 x-1)^{2}=(\sqrt{3})^{2}$
$4 x^{2}-4 x+1=3$
$4 x^{2}-4 x+1-3=0$
$4 x^{2}-4 x-2=0$
$2(2 x^{2}-2 x-1)=0$
$2 x^{2}-2 x-1=0$..........(i)
因此，
$4 x^{3}+2 x^{2}-8 x+7=4 x^{3}+6 x^{2}-4x^{2}-6x-2x+10-3$
$=(4 x^{3}-4 x^{2}-2 x)+(6 x^{2}-6 x-3)+10$
$=2x(2 x^{2}-2 x-1)+3(2 x^{2}-2 x-1)+10$
$=2 x \times 0+3 \times 0+10$ [根據(i)]
$=0+0+10$
$=10$
因此，\( 4 x^{3}+2 x^{2}-8 x+7 \)的值為$10$。
更新於：2022年10月10日
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