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法學研究如果 \( x=3+\sqrt{8} \)，求 \( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \) 的值。
已知
\( x=3+\sqrt{8} \)
要求：
我們要求 \( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \) 的值。
解答
我們知道：
分母為 ${\sqrt{a}}$ 的分數的有理化因子是 ${\sqrt{a}}$。
分母為 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分數的有理化因子是 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。
分母為 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分數的有理化因子是 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。
因此：
$x=3+\sqrt{8}$
$\Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{3+\sqrt{8}}$
$=\frac{1(3-\sqrt{8})}{(3+\sqrt{8})(3-\sqrt{8})}$
$=\frac{3-\sqrt{8}}{(3)^{2}-(\sqrt{8})^{2}}$
$=\frac{3-\sqrt{8}}{9-8}$
$=\frac{3-\sqrt{8}}{1}$
$=3-\sqrt{8}$
因此：
$x+\frac{1}{x}=3+\sqrt{8}+3-\sqrt{8}=6$
兩邊平方，得到：
$(x+\frac{1}{x})^{2}=(6)^{2}$
$\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2 \times x \times \frac{1}{x}=36$
$\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2=36$
$\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=36-2$
$\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=34$
\( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \) 的值為 $34$。
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