因式分解：\( \frac{8}{27} x^{3}+1+\frac{4}{3} x^{2}+2 x \)
已知
\( \frac{8}{27} x^{3}+1+\frac{4}{3} x^{2}+2 x \)
要求
我們需要對給定的表示式進行因式分解。
解答
我們知道：
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
$(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$
因此：
$\frac{8}{27} x^{3}+1+\frac{4}{3} x^{2}+2 x =(\frac{2}{3} x)^{3}+(1)^{3}+3 \times (\frac{2}{3} x)^{2} \times 1+3 \times \frac{2}{3} x \times(1)^{2}$
$=(\frac{2}{3} x+1)^{3}$
$=(\frac{2}{3} x+1)(\frac{2}{3} x+1)(\frac{2}{3} x+1)$
因此，$\frac{8}{27} x^{3}+1+\frac{4}{3} x^{2}+2 x = (\frac{2}{3} x+1)(\frac{2}{3} x+1)(\frac{2}{3} x+1)$。
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