在下文中,確定給定的二次方程是否有實根,如果有,求出這些根

$3x^2+2\sqrt5 x-5=0$


已知

給定的二次方程為 $3x^2+2\sqrt5 x-5=0$。


要求

我們必須確定給定的二次方程是否有實根。


解答

將給定的二次方程與二次方程的標準形式 $ax^2+bx+c=0$ 進行比較,得到:

$a=3, b=2\sqrt5$ 和 $c=-5$。

二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的標準形式的判別式為

$D=b^2-4ac$。

因此,

$D=(2\sqrt5)^2-4(3)(-5)=4(5)+60=20+60=80$。

由於 $D>0$,給定的二次方程有兩個實根,根為

$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$x=\frac{-2\sqrt5\pm \sqrt{80}}{2(3)}$ 

$x=\frac{-2\sqrt5\pm \sqrt{4\times4\times5}}{2(3)}$ 

$x=\frac{-2\sqrt5\pm 4\sqrt5}{6}$

$x=\frac{-2(\sqrt5\pm 2\sqrt5)}{2\times3}$ 

$x=\frac{-(\sqrt5\pm 2\sqrt5)}{3}$ 

$x=\frac{-(\sqrt5+2\sqrt5)}{3}$ 或 $x=\frac{-(\sqrt5-2\sqrt5)}{3}$

$x=\frac{-\sqrt5-2\sqrt5}{3}$ 或 $x=\frac{-\sqrt5+2\sqrt5}{3}$

$x=\frac{-3\sqrt5}{3}$ 或 $x=\frac{\sqrt5}{3}$

$x=\frac{\sqrt5}{3}$ 或 $x=-\sqrt5$

根為 $\frac{\sqrt5}{3}$ 和 $-\sqrt5$。

更新於: 2022年10月10日

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